ボラティリティスマイルってなんだっけ?

oryzaeです

先日の記事で紹介したボラティリティスマイルの少し詳しい説明です。
あまり学術的にしっかり書いてもわかりにくいこともあるので、だいぶ感覚的にとらえて頂けるよう書いてみます。

恐らく多くの方はブラックショールズの式からオプションのプレミアム計算をされているのかと思います。またはRSSから取得できるインプライドボラティリティもブラックショールズの式から導かれたもののように見えます。

ブラックショールズの式の導出の過程において一つ大きな仮定があり、この仮定があるためにブラックショールズの式を導くことが出来たもので、最初に導出されてほぼ50年経つにも関わらず、いまだにブラックショールズの式が広く使われていることから考えてもそのわかりやすさや簡便性は本当に優れた式なのだと思います。しかしここで言う仮定が正しいかと言うとそこには疑問があるよねという話になります。

さてこのブラックショールズの式を導くためになされた大きな仮定と現実の差、これがボラティリティスマイルを生む大きな要因となります。その仮定は、とても単純に「昨日から今日の価格変化率」と「一昨日から昨日の価格変化率」には何も関係がないというものです。要は昨日大暴落してもその影響は一切今日の相場には関係ないとしているのです。この仮定を置くことにより、初めて伊藤のレンマ(日本の伊藤整先生の導いた統計学上の超重要な公式というので正しいかな)を使うことでブラックショールズの式が導出されているわけです。

さて、しかし相場を見ているとどうもそんな気はしないですよね。相場が大きく動いた後は、その反動が続いているような場面をよく見るわけです。昨日大暴落していると今日も下がるか、または大きく反発するなんて言うのがよく見かける光景ではないでしょうか。

多少統計学をやった方に簡便に書くならば、昨日と今日の動きが全く関係ないとは、日々の相場の動きは互いに独立事象=大数の法則により、日々の相場の動きは正規分布になるという状態と、現実に投資家の集合体が考えている日々の相場の動きの期待値分布は異なり、尖度が大きく、左右に長いテールのような分布を投資家集合体が期待しているということになります。

これを一般的にモデル化して多くの方のイメージに合わせることが難しいために、一般的なブラックショールズの式から出てきたボラティリティスマイルを見ながら、市場心理がどのような相場状況をイメージしているのかを理解するという本来のオプションの理論価格の導出から見ると、すっかり逆の利用をしているということでしょうか。

まあオプションで見るときには、こんなことは深く考えずにボラティリティスマイルの高いところに市場心理はあるのだろう程度に見るのが健全な気がします。(お勉強好きな方は、どんどん突っ込んでいくと、これも面白い世界です!)

今日は若干堅めのことを豆腐程度の柔らかさにしてみました。かなりいい加減に書かざるを得なかったのはご容赦くださいませ

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